解答题

（16）（本小题满分14分）

    如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，

P是BC上一点，且

由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与

的交点为N， 求：

    （I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长

    （II）PC和NC的长

    （III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

（用反三角函数表示）

    本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象

能力、逻辑思维能力和运算 能力。满分14分。

    解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，

其对角线长为

    （II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，

点P运动到点的位置， 连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到

点M的最短路线

设，则，在中，由勾股定理得

    求得

    （III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，

作于H，又平面ABC，连 结CH，由三垂线定理得，

就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）

    在中，

    在中，