解答题

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，

AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，

并求出N点到AB和AP的距离

解:

解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），

B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），

P（0，0，2），E（0，，2）

从而=（，1，0），=（，0，-2）

设与的夹角为，则

，

∴AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），

则

由NE⊥面PAC可得：即

化简得

即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，

解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角

在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴

即AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则

连PF，则在RtΔADF中DF=

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC

∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=