解答题

22．（本小题满分14分）

     设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，

     线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点

   （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

 （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力

和综合解决问题的能力.

（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，

整理得   ①

设①的两个不同的根，

   ②

是线段AB的中点，得

解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+）.

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

（II）解法1：

代入椭圆方程，整理得  ③

③的两根，

于是由弦长公式可得     ④

将直线AB的方程

   ⑤

同理可得     ⑥

假设在在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

点M到直线AB的距离为

     ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

   ⑧

由⑥式知，⑧式左边=

由④和⑦知，⑧式右边=

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由（II）解法1及.

代入椭圆方程，整理得

       ③

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

　　　⑤

解③和⑤式可得 

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）