解答题    

22．（本小题满分12分）

 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点（）得的切线方程，并设

函数

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）证明：当；

   （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

         求b的取值范围及a与b所满足的关系.

本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合

的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运

用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

   （Ⅰ）解：…………………………………………2分

   （Ⅱ）证明：令

        因为递减，所以递增，因此，当；

        当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………6分

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

        对任意成立的充要条件是

       另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，

利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线

相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

       于是的充要条件是…………………………10分

       综上，不等式对任意成立的充要条件是

                                                  ①

       显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

       对任意成立的充要条件是

        ………………………………………………………………8分

       令，于是对任意成立的

充要条件是

        由

       当时当时，，所以，当时，

取最小值.因此成立的充要条件是，即………10分

       综上，不等式对任意成立的充要条件是

                ①

       显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式  ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分