解答题

21.（本小题满分14分）

设.两点在抛物线上，是的垂直平分线

1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围

本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、

解决问题的能力

解法一：（1）、两点到抛物线的准线的距离相等

因为：抛物线的准线是轴的平行线，，依题意、不同时为0

所以，上述条件等价于；

注意到：，所以上述条件等价于

即：当且仅当时，直线经过抛物线的焦点

（2）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点、

的直线方程可写为，所以、满足方程，

即

、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，也就是：

设的中点的坐标为为，则有：

，

由得：，于是：

即：在轴上截距的取值范围是

.解法二：（Ⅰ）∵抛物线，即，

∴焦点为…………………………………………1分

（1）直线的斜率不存在时，显然有………………3分

（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b

即直线：y=kx+b      由已知得：

……5分       

………7分   

即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………8分

所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F……………9分

 (II)解：设直线的方程为：y=2x+b,

故有过AB的直线的方程为，代入抛物线方程有2x2+=0, 得x1+x2=-.

由A.B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式，即

由直线AB的中点为=，

则 于是

即得l在y轴上的截距的取值范围是