三、解答题

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题21图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，

且与抛物线交于两点．

（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；

（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线

交轴于点，证明为定值，

并求此定值．

（I）解：设抛物线的标准方程为，则，从而．

因此焦点的坐标为，

又准线方程的一般式为．

从而所求准线的方程为．

（II）解法一：如答21图作，，

垂足分别为，则由抛物线的定义知

，．

记的横坐标分别为，，

则

，解得．

类似地有，解得．

记直线与的交点为，则

．

所以．

故．

解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．

将此式代入得，故．

记直线与的交点为，则，，

故直线的方程为，

令，得点的横坐标，故．

从而为定值．