三、解答题

18．（本题满分12分）

如图，已知是棱长为的正方体，

点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；（4分）

（2）若点在上，，点在上，

，垂足为，求证：平面；（4分）

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分）

本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本

运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分．

解法一：

（1）如图，在上取点，使，连结，，则，．

因为，，所以四边形，都为平行四边形．

从而，．

又因为，所以，故四边形是

平行四边形，由此推知，从而．

因此，四点共面．

（2）如图，，又，所以，

．

因为，所以为平行四边形，从而．

又平面，所以平面．

（3）如图，连结．

因为，，所以平面，得．

于是是所求的二面角的平面角，即．

因为，所以

，

．

解法二：

（1）建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

（2）如图，设，则，

而，由题设得，

得．

因为，，有，

又，，所以，，从而，．

故平面．

（3）设向量截面，于是，．

而，，得，，

解得，，所以．

又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．

于是．

故．