解答题

22. （本小题满分14分）

  椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）

的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

  （1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于

另一点M，证明。

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，

曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。

  （1）解：由题意，可设椭圆的方程为。

  由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率。

（2）解：由（1）可得A（3，0）。

设直线PQ的方程为。由方程组

得

依题意，得。

设，则

，     ①

。    ②

由直线PQ的方程得。于是

。    ③

∵，∴。    ④

由①②③④得，从而。

所以直线PQ的方程为或

（2）证明：。由已知得方程组

注意，解得

因，故

。

而，所以

。