解答题

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，

OP⊥底面ABC．

   (Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

   (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好

   为△PBC的重心？ 

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间

想象能力和推理运算能力满分14分

解：方法一：

(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，

，

(Ⅱ)

，

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

(Ⅰ)D为PC的中点，

，

又，

(Ⅱ)，即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

（Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心