解答题

20．设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中

a_n＝－2－4_n－，由以下方法得到：

   x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x₂＋a₁x＋b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是

   A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x₂＋a_n x＋b_n上，

   点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)证明{}是等差数列．

本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，

以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分

解：（Ⅰ）由题意得，

设点是上任意一点，

则

令

则

由题意得，

即

又在上，

解得

故的方程为

(Ⅱ)设点是上任意一点，

则

令

则

由题意得

即

又，

，

即

下面用数学归纳法证明，

①当时，，等式成立；

②假设当时，等式成立，即，

则当时，由知，

又，，

即时，等式成立

由①②知，等式对成立，

故是等差数列