三、解答题

16．（本小题满分12分）

已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（I）求的取值范围；

（II）求函数的最大值与最小值．

 解答

17．（本小题满分12分）

在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，

将数据分组如表：

（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系

中画出频率分布直方图；

（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于

的概率是多少？

（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值

                     （例如区间的中点值是）作为代表．据此，

                      估计纤度的期望．

 解答

 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，

．

（I）求证：平面；

（II）当解变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

 解答

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

 解答

（此题不要求在答题卡上画图）

20．（本小题满分13分）

已知定义在正实数集上的函数，，其中．

设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

 解答

21．（本小题满分14分）

已知为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，求证，

求证，；

（III）求出满足等式的所有正整数．

 解答