91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2011 > 2011年重庆文数 > 正文 返回 打印

2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):文数第20题

  2016-10-28 09:13:18  

(2011重庆卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,在四面体中,平面⊥平面

(Ⅰ)求四面体的体积;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):文数第20题
【答案】

法一:

(Ⅰ)如图所示,

垂足为,故由平面平面,知平面,即,是四面体的面上的高,设为边的中点,则由,从而。由,由中,,故四面体的体积

(Ⅱ)如图所示,过,垂足为,连接。由(I)知平面。由三垂线定理知,故为二面角的平面角。在中,。在中,,从而,所以。在中,

 法二:

(Ⅰ)如图所示,

的中点,过,交,过,交,由平面平面,知。因此以为原点,以射线分别为轴,轴,轴的正半轴,可建立空间坐标系。已知,故点的坐标分别为。设点的坐标为,解得  (舍去),即点的坐标为。又设点的坐标为,有,解得(舍去)即点的坐标为,从而上的高为。又。故四面体的体积

(Ⅱ)由(Ⅰ)知。设非零向量是平面的法向量,则由有 ①。由,有 ②。

,由(1)、(2),可得,即。向量是平面的法向量,从而   。即二面角的平面角的正切值为

【解析】

本题主要考查几何体体积的计算、二面角的求法以及空间想象能力。

法一:

(Ⅰ)欲求四面体的体积,必须确定四面体的高和底面。根据题意,可将作为底面。由于平面平面,根据平面与平面垂直的性质定理,在平面中作的垂线,即为四面体的高,从而求得四面体的体积。

(Ⅱ)由(Ⅰ)平面,利用三垂线定理作出二面角的平面角,在直角三角形中求出正切值。

法二:

中点为坐标原点,轴建立空间直角坐标系。

(Ⅰ)先求得点的坐标,从而求得上的高,再利用公式即可求得四面体的体积。

(Ⅱ)分别求得平面和平面的法向量为,设二面角的大小为,则,再利用三角函数的性质求得即可。

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2011/2011cqw/26359.html