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2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):文数第21题

  2016-10-28 09:13:53  

(2011辽宁卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,已知椭圆的中心在原点,长轴左、右端点轴上,椭圆的短轴为,且的离心率都为,直线与交于两点,与交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为

(1)设,求的比值;

(2)当变化时,是否存在直线,使得,并说明理由。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):文数第21题
【答案】

(1)因为的离心率相同,故依题意可设

设直线,分别与的方程联立,求得。 

时,,分别用表示的纵坐标,可知

(2)时的不符合题意.时,当且仅当的斜率的斜率­相等,即,解得

因为,又,所以,解得

所以当时,不存在直线,使得

时,存在直线使得

【解析】

本题主要考查椭圆知识的综合应用以及直线平行的判定。

(1)根据对称性可知,,设出两椭圆和直线的方程,联立方程求得的纵坐标,进而求得的比值。

(2)假设存在,设方程为。根据建立等式,可求得,再根据约束条件建立不等式,解得离心率的范围,从而可根据的值进行判断。

【考点】
圆锥曲线直线与方程


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