91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2011 > 2011年陕西理数 > 正文 返回 打印

2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第23题

  2016-10-28 16:58:56  

(2011陕西卷计算题)

(本小题满分14分)

设函数定义在上,,导函数

(Ⅰ)求的单调区间和最小值;

(Ⅱ)讨论的大小关系;

(Ⅲ)是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第23题
【答案】

(Ⅰ)由题设知,所以

,令,当时,,故的单调减区间;当时,,故的单调增区间。因此,的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为

(Ⅱ),设,则,当时,,即;当,因此,内单调递减。当时,,即;当时,,即

(Ⅲ)满足条件的不存在。

假设存在 ,使 对任意 成立,即对任意,有 但对上述,取时,有  ,这与左边不等式矛盾,因此,不存在 ,使 对任意成立。

【解析】

本题主要考查函数的求导和利用导函数求解函数单调区间和极值。

(Ⅰ)对函数求导得导函数,再对导函数进行分析。导函数时,函数单调递增;导函数时,函数单调递减。从而分别求得单调区间。令,得极值点,再利用单调性,判断极大值与极小值,如果区间是闭区间,再与区间端点比较得出最小值。

(Ⅱ)构造函数,对函数求导得导函数。讨论函数单调性,并令,得极值点。而,故可得当时,,即,当时,,即

(Ⅲ)运用反证法,先假设存在,由取值任意性,令取某个特殊值得出矛盾,即可得证不存在。

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
分类讨论思想反证法函数与方程的思想


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2011/2011sxl/27304.html