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2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷):理数第20题

  2016-10-28 19:08:16  

(2012江西卷计算题)

(本题满分12分)

在三棱柱中,已知,点在底面的投影是线段的中点

(1)证明在侧棱上存在一点,使得平面,并求出的长;

(2)求平面与平面夹角的余弦值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷):理数第20题
【答案】

(1)连接,在△中,作  于点,因为,所以因为 ⊥平面,所以。因为,所以,所以⊥平面 。所以,所以⊥平面 ,又,得

(2)如图,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则,由得点的坐标是,由(1)得平面的法向量是,设平面的法向量,令,得,即,所以,即 平面与平面夹角的余弦值为

【解析】

本题主要考查立体几何中的线面垂直的综合应用以及二面角的计算。

(1)本题首先要作出符合题意的线段,再利用“若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与该平面垂直”等判定定理,即可证明有关的命题,最后再根据相关的线段数量关系即可得出的长。

(2)本题利用两两垂直即可建立空间直角坐标系。再分别求出平面与平面的法向量,最后再有 ,即可求出平面与平面夹角的余弦值。 

【考点】
空间向量及其运算空间向量的应用点、直线、平面的位置关系
【标签】
直接法


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