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2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷):理数第20题

  2016-10-28 19:07:58  

(2012广东卷计算题)

(本小题满分14分)

在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为

(1)求椭圆的方程;

(2)在椭圆上,是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷):理数第20题
【答案】

(1)由,椭圆方程为

椭圆上的点到点的距离

时,得

时,得(舍)。

所以,椭圆方程为

(2)

时,取最大值

到直线距离。所以

又因为,解得:

所以点的坐标为的面积为

【解析】

本题主要考查椭圆方程与直线方程。

(1)利用离心率可以将关系求出并用替换,利用上任意一点到距离最大值为可以求出值,得到椭圆方程。

(2)利用面积最大和正弦定理可以找出圆心到直线距离,从而得到一个关于方程,联立点在椭圆上满足椭圆的方程,可以求出点坐标,从而得到三角形面积。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线
【标签】
数形结合函数与方程的思想等价转化思想


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