本题主要考查函数极值点的性质。

由题意，为的极大值点，

A项，极大值并非最大值，概念混淆，故A项错误；

B项，即关于轴对称的图形，所以为极大值点，故B项错误；

C项，即关于轴对称的图形，无法判断函数在点性质，故C项错误；

D项，即关于原点中心对称的图形，所以为极小值点，故D项正确。

故本题正确答案为D。