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2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):文数第20题

  2016-10-30 09:13:03  

(2014新课标Ⅰ卷计算题)

(本小题满分12分)

已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为为坐标原点。

(Ⅰ)求的轨迹方程;

(Ⅱ)当时,求的方程以及的面积。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):文数第20题
【答案】

(Ⅰ)圆的方程可化为,所以圆心为,半径为。设,则,由题设知,故,即。由于点在圆 的内部,所以 的轨迹方程是

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知的轨迹是以点为圆心,为半径的圆。由于,故在线段的垂直平分线上,又在圆上,从而。因为的斜率为,所以的斜率为,故的方程为。又的距离为,所以的面积为

【解析】

本题主要考查直线和圆。

(Ⅰ)设,则可求出,利用,代入整理可得点的轨迹方程;

(Ⅱ)当时,结合点在圆上可知,,而的斜率为,故直线的斜率为;根据点到直线距离公式算出边上的高,即可求出其面积。

【考点】
直线与方程圆与方程
【标签】
直接法综合与分析法


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