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2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第22题

  2016-10-30 09:16:49  

(2014上海卷计算题)

(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中,对于直线和点,记,若,则称点被直线分隔,若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线。

(1)求证:点被直线分隔;

(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;

(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分隔线。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第22题
【答案】

(1)因为,所以点被直线分隔。

(2)直线与曲线有公共点 的充要条件是方程组有解,即。因为直线是曲线的分隔线,故它们没有公共点,即

时,对于直线,曲线上的点满足,即点分隔。故实数的取值范围是

(3)设的坐标为,则曲线的方程为,即。对任意的不是上述方程的解,即轴与曲线没有公共点。又曲线上的点对于轴满足,即点轴分隔。所以轴为曲线的分隔线。

若过原点的直线不是轴,设其为,由,得,令,因为,所以方程有实数解,即直线与曲线有公共点,故直线不是曲线的分隔线。

综上可得,通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分隔线。

【解析】

本题主要考查函数与方程。

(1)利用已知条件可直接求解;

(2)根据分隔线定义,列式求解即可;

(3)利用题设提条件证明即可。

【考点】
函数与方程


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