（本小题满分12分）
设函数。
（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时，。
（Ⅰ）的定义域为，（）。当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。当时，，，所以此时，又，故当时，存在唯一零点。所以的零点只有个。 ......分
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，。故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。由于，所以。故当时，。 ......分
本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。
（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。
