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2015年高考数学湖北--文20

  2016-10-28 18:48:10  

(2015湖北卷计算题)

(本小题满分13分)

《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

在如图所示的阳马中,侧棱平面,且,点的中点,连接

(Ⅰ)证明:平面。试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只要写出结论);若不是,请说明理由;

(Ⅱ)记阳马的体积为,四面体的体积为,求的值。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):文数第20题
【答案】

(1)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以平面。而平面,所以

又因为,点的中点,所以。而,所以平面

平面平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为

(2)由已知,是阳马的高,所以;由(1)知,是鳖臑的高,,所以。在中,因为,点的中点,所以,于是

【解析】

本题主要考查空间几何体。

(1)综合利用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质、直线与直线垂直的判定定理可得到平面,进而证明平面

平面平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑。

(2)由题意可知是阳马的高,是鳖臑的高,在中,,列出的表达式,化简可求得

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系


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