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2015年高考数学上海--理23

  2016-10-28 18:50:25  

(2015上海卷计算题)

(本小题满分18分)

对于定义域为的函数,若存在正常数,使得是以为周期的函数,则称为余弦周期函数,且称为其余弦周期。已知是以为余弦周期的余弦周期函数,其值域为。设单调递增,

(1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数;

(2)设,证明对任意,存在,使得

(3)证明:“为方程上的解”的充要条件是“为方程上的解”,并证明对任意都有

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第23题
【答案】

(1)因为),所以,所以 ,所以是以为周期的余弦周期函数。     ......4分

(2)由于的值域为,所以对任意都是一个函数值,即有,使得

,则由的单调递增得到,与矛盾,所以,同理可得

故对任意,存在,使得      ......10分

(3)必要性:若,且,且

所以,所以上的解;

充分性:若 ,且,则,所以上的解。

综上,“为方程上的解”的充要条件是“为方程上的解”。

由(2)知存在,使得

是函数的单调区间,

与之前类似的可以证明:上的解,当且仅当上的解,

从而上的解的个数相同。

,对于

,故

类似的,当时,有

综上,结论成立。      ......18分

【解析】

本题主要考查函数的性质。

(1)根据周期函数的性质先写出,然后经计算,所以是以为周期的余弦周期函数。

(2)设,存在,使得,即上存在零点。

因为上单调递增,所以当时,,然后根据函数的单调性分别讨论(或)可知上必定存在零点。

(3)先证必要性,再证充分性,必要性即已知,证明上的解,充分性即已知,证明上的解,根据题目余弦周期函数的定义证明即可。

要证明,由三角函数的概念得,再根据余弦周期函数的定义证明即可。

【考点】
命题及其关系函数


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