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2020年高考数学全国卷Ⅱ--理21

  2020-10-29 21:37:26  

(2020新课标Ⅱ卷计算题)

已知函数

(1)讨论在区间上的单调性。

(2)证明:

(3)设,证明:

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):理数第21题
【答案】

 (1)

所以

因为

所以

所以

解得

所以时,此时单调递增,

同理化简得

所以

解得,此时单调递减,

综上所述,上单调递增,在上单调递减。

(2)

所以函数的周期为

所以其最大值、最小值在每个周期上均相等,

所以只需证明在上有

根据单调性得处有极大值,在处有极小值,

因为

所以

所以

(3)由(2)可得

所以

所以

所以

【解析】

本题主要考查函数的概念与性质、函数综合以及导数在研究函数中的应用。

(1)先化简函数,根据导数的正负即可判断单调性。

(2)判断函数的周期性,求出单个周期内的最大值和最小值即可证明。

(3)将原不等式替换为,进行化简,即可证明。

【考点】
利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值与最值函数综合函数与不等式的综合利用导数证明不等式导数在研究函数中的应用函数的概念与性质函数的最值函数的单调性函数的周期性


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