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2021年高考数学甲卷-理8

  2022-05-02 08:58:17  

8.(5分)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:$m)$,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有$A$,$B$,$C$三点,且$A$,$B$,$C$在同一水平面上的投影$A'$,$B'$,$C'$满足$\angle A'C'B'=45\circ$,$\angle A'B'C'=60\circ$.由$C$点测得$B$点的仰角为$15\circ$,$BB'$与$CC'$的差为100;由$B$点测得$A$点的仰角为$45\circ$,则$A$,$C$两点到水平面$A'B'C'$的高度差$AA'-CC'$约为(  )$(\sqrt{3}\approx 1.732)$

A.346              B.373              C.446              D.473
分析:本题要注意各个三角形不共面,在每个三角形中利用正弦定理求边长,进而找到高度差.
解:过$C$作$CH\bot BB\prime$于$H$,过$B$作$BM\bot AA\prime$于$M$,

则$\angle BCH=15\circ$,$BH=100$,$\angle ABM=45\circ$,$CH=C\prime B\prime$,$A\prime B\prime =BM=AM$,$BB\prime =MA\prime$,$\angle C\prime A\prime B\prime =75\circ$
$\therefore \tan \angle BCH=\tan 15\circ =\tan (45\circ -30\circ )=\dfrac{\tan 45\circ -\tan 30\circ }{1+\tan 45\circ \tan 30\circ }=2-\sqrt{3}$,$\sin 75\circ =\sin (45\circ +30\circ )=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2})$
则在$\rm{Rt}\Delta BCH$中,$CH=\dfrac{BH}{\tan \angle BCH}=100(2+\sqrt{3})$,$\therefore C\prime B\prime =100(2+\sqrt{3})$
在△$A\prime B\prime C\prime$中,由正弦定理知,$A\prime B\prime =\dfrac{C\prime B\prime }{\sin \angle C\prime A\prime B\prime }\cdot \sin \angle A\prime C\prime B\prime =100(\sqrt{3}+1)$,$\therefore AM=100(\sqrt{3}+1)$,
$\therefore AA\prime -CC\prime =AM+BH=100(\sqrt{3}+1)+100\approx 373$,
故选:$B$.

点评:理解仰角的概念,各个三角形不共面,因此做好辅助线是关键.

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