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2021年高考数学甲卷-理18

  2022-05-02 09:02:05  

18.(12分)已知数列$\{a_{n}\}$的各项均为正数,记$S_{n}$为$\{a_{n}\}$的前$n$项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列$\{a_{n}\}$是等差数列;②数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列;③$a_{2}=3a_{1}$.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
分析:首先确定条件和结论,然后结合等差数列的通项公式和前$n$项和公式证明结论即可.
解:选择①③为条件,②结论.
证明过程如下:
由题意可得:$a_{2}=a_{1}+d=3a_{1}$,$\therefore d=2a_{1}$,
数列的前$n$项和:${S}_{n}=n{a}_{1}+\dfrac{n(n?1)}{2}d=n{a}_{1}+\dfrac{n(n?1)}{2}\times 2{a}_{1}={n}^{2}{a}_{1}$,
故$\sqrt{{S}_{n}}?\sqrt{{S}_{n?1}}=n\sqrt{{a}_{1}}?(n?1)\sqrt{{a}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}(n\geqslant 2)$,
据此可得数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列.
选择①②为条件,③结论:
设数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$,则:
$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}},\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+({a}_{1}+d)}=\sqrt{2{a}_{1}+d},\sqrt{{S}_{3}}=\sqrt{{a}_{1}+({a}_{1}+d)+({a}_{1}+2d)}=\sqrt{3({a}_{1}+d)}$,
数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 为等差数列,则:$\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{3}}=2\sqrt{{S}_{2}}$,
即:${(\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{3({a}_{1}+d)})}^{2}={(2\sqrt{2{a}_{1}+d})}^{2}$,整理可得:$d=2a_{1}$,$\therefore a_{2}=a_{1}+d=3a_{1}$.
选择③②为条件,①结论:
由题意可得:$S_{2}=a_{1}+a_{2}=4a_{1}$,$\therefore$$\sqrt{{S}_{2}}=2\sqrt{{a}_{1}}$,
则数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 的公差为$d=\sqrt{{S}_{2}}?\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$,
通项公式为:$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}+(n?1)d=n\sqrt{{a}_{1}}$,
据此可得,当$n\geqslant 2$时,${a}_{n}={S}_{n}?{S}_{n?1}={n}^{2}{a}_{1}?{(n?1)}^{2}{a}_{1}=(2n?1){a}_{1}$,
当$n=1$时上式也成立,故数列的通项公式为:$a_{n}=(2n?1)a_{1}$,
由$a_{n+1}?a_{n}=[2(n+1)?1]a_{1}?(2n?1)a_{1}=2a_{1}$,可知数列$\{a_{n}\}$是等差数列.
点评:本题主要考查等差数列的判定与证明,等差数列的通项公式,等差数列的前$n$项和公式等知识,属于中等题.

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