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2022年高考数学新高考Ⅰ-17

  2022-12-15 15:52:11  

(10分)记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和,已知$a_{1}=1$,$\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\}$是公差为$\dfrac{1}{3}$的等差数列.
(1)求$\{a_{n}\}$的通项公式;
(2)证明:$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots +\dfrac{1}{a_n} < 2$.
分析:(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式;
(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和,进一步利用放缩法的应用求出结果.
解:(1)已知$a_{1}=1$,$\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\}$是公差为$\dfrac{1}{3}$的等差数列,
所以$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\dfrac{1}{3}(n-1)=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{2}{3}$,整理得${S}_{n}=\dfrac{1}{3}{na}_{n}+\dfrac{2}{3}{a}_{n}$,①,
故当$n\geqslant 2$时,${S}_{n-1}=\dfrac{1}{3}{(n-1)a}_{n-1}+\dfrac{2}{3}{a}_{n-1}$,②,
①$-$②得:$\dfrac{1}{3}{a}_{n}=\dfrac{1}{3}{na}_{n}-\dfrac{1}{3}{na}_{n-1}-\dfrac{1}{3}{a}_{n-1}$,
故$(n-1)a_{n}=(n+1)a_{n-1}$,
化简得:$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n+1}{n-1}$,$\dfrac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\dfrac{n}{n-2}$,$........$,$\dfrac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\dfrac{4}{2}$,$\dfrac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\dfrac{3}{1}$;
所以$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\dfrac{n(n+1)}{2}$,
故${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$(首项符合通项).
所以${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
证明:(2)由于${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$,
所以$\dfrac{1}{{a}_{n}}=\dfrac{2}{n(n+1)}=2(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$,
所以$\dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{{a}_{2}}+...+\dfrac{1}{{a}_{n}}=2(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})=2\times (1-\dfrac{1}{n+1}) < 2$.
点评:本题考查的知识要点:数列的递推关系式,数列的通项公式的求法,数列的求和,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.

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