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2023年高考数学新高考Ⅰ-7

  2023-07-08 10:58:08  

(5分)记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和,设甲:$\{a_{n}\}$为等差数列;乙:$\{\dfrac{S_n}{n}\}$为等差数列,则$($  $)$
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件              
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件              
C.甲是乙的充要条件              
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案:$C$
分析:首先明确充要条件的判定方法,再从等差数列的定义入手,进行正反两方面的论证.
解:若$\{a_{n}\}$是等差数列,设数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$,公差为$d$,
则$S_{n}=na_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}d$,
即$\dfrac{{S}_{n}}{n}=a_{1}+\dfrac{n-1}{2}d=\dfrac{d}{2}n+a_{1}-\dfrac{d}{2}$,
故$\{\dfrac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列,
即甲是乙的充分条件.
反之,若$\{\dfrac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列,则可设$\dfrac{{S}_{n+1}}{n+1}-\dfrac{{S}_{n}}{n}=D$,
则$\dfrac{{S}_{n}}{n}=S_{1}+(n-1)D$,即$S_{n}=nS_{1}+n(n-1)D$,
当$n\geqslant 2$时,有$S_{n-1}=(n-1)S_{1}+(n-1)(n-2)D$,
上两式相减得:$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=S_{1}+2(n-1)D$,
当$n=1$时,上式成立,所以$a_{n}=a_{1}+2(n-1)D$,
则$a_{n+1}-a_{n}=a_{1}+2nD-[a_{1}+2(n-1)D]=2D$(常数),
所以数列$\{a_{n}\}$为等差数列.
即甲是乙的必要条件.
综上所述,甲是乙的充要条件.
故本题选:$C$.
点评:本题主要考查利用定义进行等差数列的判断,穿插了充要条件的判定,属中档题.

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