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2023年高考数学新高考Ⅰ-21

  2023-07-08 11:04:47  

(12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第$i$次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量$X_{i}$服从两点分布,且$P(X_{i}=1)=1-P(X_{i}=0)=q_{i}$,$i=1$,2,$\dotsb$,$n$,则$E(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})=\sum\limits_{i=1}^n{q_i}$.记前$n$次(即从第1次到第$n$次投篮)中甲投篮的次数为$Y$,求$E(Y)$.
答案:(1)第2次投篮的人是乙的概率为0.6;
(2)第$i$次投篮的人是甲的概率为$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$;
(3)$E(Y)=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$,$n\in N$.
分析:(1)设第2次投篮的人是乙的概率为$P$,结合题意,即可得出答案;
(2)由题意设$P_{n}$为第$n$次投篮的是甲,则$P_{n+1}=0.6P_{n}+0.2(1-P_{n})=0.4P_{n}+0.2$,构造得$P_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0.4(P_{n}-\dfrac{1}{3})$,结合等比数列的定义可得$\{P_{n}-\dfrac{1}{3}\}$是首项为$\dfrac{1}{6}$,公比为0.4的等比数列,即可得出答案;
(3)由(2)得$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$,结合题意可得甲第$i$次投篮次数$Y_{i}$服从两点分布,且$P(Y_{i}=1)=1-P(Y_{i}=0)=P_{i}$,即$E(\sum\limits_{i=1}^{n}{Y}_{i})=E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}$,分类讨论$n\geqslant 1$,$n=0$,即可得出答案.
解:(1)设第2次投篮的人是乙的概率为$P$,
由题意得$P=0.5\times 0.4+0.5\times 0.8=0.6$;
(2)由题意设$P_{n}$为第$n$次投篮的是甲,
则$P_{n+1}=0.6P_{n}+0.2(1-P_{n})=0.4P_{n}+0.2$,
$\therefore P_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0.4(P_{n}-\dfrac{1}{3})$,
又$P_{1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\ne 0$,则$\{P_{n}-\dfrac{1}{3}\}$是首项为$\dfrac{1}{6}$,公比为0.4的等比数列,
$\therefore P_{n}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{n-1}$,即$P_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{n-1}$,
$\therefore$第$i$次投篮的人是甲的概率为$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$;
(3)由(2)得$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$,
由题意得甲第$i$次投篮次数$Y_{i}$服从两点分布,且$P(Y_{i}=1)=1-P(Y_{i}=0)=P_{i}$,
$\therefore E(\sum\limits_{i=1}^{n}{Y}_{i})=E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}$,
$\therefore$当$n\geqslant 1$时,$E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{n}(\dfrac{2}{5})^{i-1}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{\dfrac{1}{6}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]}{1-\dfrac{2}{5}}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$,
综上所述,$E(Y)=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$,$n\in N$.
点评:本题考查离散型随机变量的期望与方差,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.

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