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2023年高考数学乙卷-理9

  2023-07-08 11:42:27  

(5分)已知$\Delta ABC$为等腰直角三角形,$AB$为斜边,$\Delta ABD$为等边三角形,若二面角$C-AB-D$为$150^\circ$,则直线$CD$与平面$ABC$所成角的正切值为$($  $)$
A.$\dfrac{1}{5}$              B.$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$              C.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}$              D.$\dfrac{2}{5}$
答案:$C$
分析:取$AB$的中点$E$,连接$CE$,$DE$,则根据题意易得二面角$C-AB-D$的平面角为$\angle CED=150^\circ$,又易知平面$CED\bot$平面$ABC$,从而得直线$CD$与平面$ABC$所成角为$\angle DCE$,再解三角形,即可求解.
解:如图,取$AB$的中点$E$,连接$CE$,$DE$,

则根据题意易得$AB\bot CE$,$AB\bot DE$,
$\therefore$二面角$C-AB-D$的平面角为$\angle CED=150^\circ$,
$\because AB\bot CE$,$AB\bot DE$,且$CE\bigcap DE=E$,
$\therefore AB\bot$平面$CED$,又$AB\subset$平面$ABC$,
$\therefore$平面$CED\bot$平面$ABC$,
$\therefore CD$在平面$ABC$内的射影为$CE$,
$\therefore$直线$CD$与平面$ABC$所成角为$\angle DCE$,
过$D$作$DH$垂直$CE$所在直线,垂足点为$H$,
设等腰直角三角形$ABC$的斜边长为2,
则可易得$CE=1$,$DE=\sqrt{3}$,又$\angle DEH=30^\circ$,
$\therefore DH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$EH=\dfrac{3}{2}$,$\therefore CH=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$,
$\therefore \tan \angle DCE=\dfrac{DH}{CH}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
故选:$C$.
点评:本题考查二面角的概念,线面角的求解,化归转化思想,属中档题.

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