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2023年高考数学上海18

  2023-07-08 14:29:11  

(14分)已知$a$,$c\in R$,函数$f(x)=\dfrac{{x^2}+(3a+1)x+c}{x+a}$.
(1)若$a=0$,求函数的定义域,并判断是否存在$c$使得$f(x)$是奇函数,说明理由;
(2)若函数过点$(1,3)$,且函数$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点,求此时$c$的值和$a$的取值范围.
答案:(1)$a=0$时,$f(x)$的定义域为$\{x\vert x\ne 0\}$,不存在$c$使得$f(x)$是奇函数.
(2)$(\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{1}{2})\bigcup (\dfrac{1}{2}$,$+\infty )$.
分析:(1)$a=0$时,求出函数$f(x)$的解析式,根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可.
(2)根据函数过点$(1,3)$,求出$c$的值,然后根据$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点,转化为一元二次方程根的分布进行求解即可.
解:(1)若$a=0$,则$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+x+c}{x}=x+\dfrac{c}{x}+1$,
要使函数有意义,则$x\ne 0$,即$f(x)$的定义域为$\{x\vert x\ne 0\}$,
$\because y=x+\dfrac{c}{x}$是奇函数,$y=1$是偶函数,
$\therefore$函数$f(x)=x+\dfrac{c}{x}+1$为非奇非偶函数,不可能是奇函数,故不存在实数$c$,使得$f(x)$是奇函数.
(2)若函数过点$(1,3)$,则$f$(1)$=\dfrac{1+3a+1+c}{1+a}=\dfrac{3a+2+c}{1+a}=3$,得$3a+2+c=3+3a$,得$c=3-2=1$,
此时$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+(3a+1)x+1}{x+a}$,若数$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点,
即$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+(3a+1)x+1}{x+a}=0$,得$x^{2}+(3a+1)x+1=0$,当$x < 0$时,有两个不同的交点,
设$g(x)=x^{2}+(3a+1)x+1$,
则$\left\{\begin{array}{l}{\triangle =(3a+1)^{2}-4 > 0}\\ {{x}_{1}{x}_{2}=1 > 0}\\ {{x}_{1}+{x}_{2}=-(3a+1) < 0}\\ {-\dfrac{3a+1}{2} < 0}\end{array}\right.$,得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   3a+1 > 23a+1 < -2  \\
   3a+1 > 0  \\
\end{array} \right.$,得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   a > \dfrac{1}{3}a < -1  \\
   a > -\dfrac{1}{3}  \\
\end{array} \right.$,即$a > \dfrac{1}{3}$,
若$x+a=0$即$x=-a$是方程$x^{2}+(3a+1)x+1=0$的根,
则$a^{2}-(3a+1)a+1=0$,即$2a^{2}+a-1=0$,得$a=\dfrac{1}{2}$或$a=-1$,
则实数$a$的取值范围是$a > \dfrac{1}{3}$且$a\ne \dfrac{1}{2}$且$a\ne -1$,
即$(\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{1}{2})\bigcup (\dfrac{1}{2}$,$+\infty )$.
点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,以及函数与方程的应用,根据条件建立方程,转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键,是中档题.

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