91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2023 > 2023年上海 > 正文 返回 打印

2023年高考数学上海19

  2023-07-08 14:29:34  

(14分)2023年6月7日,21世纪汽车博览会在上海举行,已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
  红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件$A$为小明取到红色外观的模型,事件$B$为小明取到棕色内饰的模型,求$P$(B)和$P(B\vert A)$,并判断事件$A$和事件$B$是否独立;
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:
假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;
假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
假设3:该抽奖活动的奖金额为:一等奖600元,二等奖300元、三等奖150元;
请你分析奖项对应的结果,设$X$为奖金额,写出$X$的分布列并求出$X$的数学期望.
答案:(1)$P$(A)$=\dfrac{14}{25}$,$P$(B)$=\dfrac{4}{5}$.$P(B\vert A)=\dfrac{6}{7}$.事件$A$和事件$B$不独立.
(2)$EX=277$(元$)$.
分析:(1)根据概率公式分别进行计算即可.
(2)分别求出三种结果对应的概率,比较大小,确定$X$对应的概率,求出分布列,利用期望公式进行计算即可.
解:(1)若红色外观的模型,则分棕色内饰12个,米色内饰2个,则对应的概率$P$(A)$=\dfrac{12+2}{25}=\dfrac{14}{25}$,
若小明取到棕色内饰,分红色外观12,蓝色外观8,则对应的概率$P$(B)$=\dfrac{12+8}{25}=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}$.
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个,即$P(AB)=\dfrac{12}{25}$,
则$P(B\vert A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{12}{25}}{\dfrac{14}{25}}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}$.
$\because P$(A)$P$(B)$=\dfrac{14}{25}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{56}{125}\ne \dfrac{12}{25}$,$\therefore P$(A)$P$(B)$\ne P(AB)$,
即事件$A$和事件$B$不独立.
(2)由题意知$X=600$,300,150,
则外观和内饰均为同色的概率$P=\dfrac{{C}_{12}^{2}+{C}_{8}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{25}^{2}}=\dfrac{66+28+3+1}{300}=\dfrac{98}{300}=\dfrac{49}{150}$,
外观和内饰都异色的概率$P=\dfrac{{C}_{12}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{52}^{2}}=\dfrac{52}{300}$,
仅外观或仅内饰同色的概率$P=1-\dfrac{49}{150}-\dfrac{52}{300}=\dfrac{150}{300}$,
$\because$$\dfrac{150}{300} > \dfrac{49}{150} > \dfrac{52}{300}$,
$\therefore P(X=150)=\dfrac{150}{300}$,$P(X=300)=\dfrac{98}{300}=\dfrac{49}{150}$,$P(X=600)=\dfrac{52}{300}$,
则$X$的分布列为:
$X$ 150 300 600
$P$ $\dfrac{150}{300}$ $\dfrac{49}{150}$ $\dfrac{52}{300}$
则$EX=150\times \dfrac{150}{300}+300\times \dfrac{49}{150}+600\times \dfrac{52}{300}=277$(元$)$.
点评:本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,根据概率公式求出对应的概率是解决本题的关键,是中档题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2023/2023sh/2023-07-08/33814.html