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2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第21题

(2012辽宁卷计算题)

(本小题满分12分)

为常数,曲线与直线在点相切。

(1)求的值;

(2)证明:当时,

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第21题
【答案】

(1)由的图像过点,代入得

处的切线斜率为,又,得

(2)由均值不等式,当时,,故

,则

,则当时,

因此内是减函数,又由,得,所以

因此内是减函数,又由,得

于是,当时,  

解读

第二问欲证的不等式为:,一般来说,我们的思路是证明(记,然而对本题来说可能比较困难,函数式掺杂了对数和根式,求导计算会比较麻烦,于是我们想到放缩。那么如何放缩呢?对数求导显然比根式求导后的式子简单,于是我们考虑放缩根式,且放缩到求导后形式简洁的式子,一次函数是个理想的函数,这时,想到切线正好是一次的,且不会放缩的过大,于是我们取根式在处的切线方程(切线方程是个有力的放缩武器),接下来的证明就十分自然了。

如果不用放缩法,也可以化简该不等式,用换元法。我们取,则,不等式化为,即,求导得,注意到时该式子为零,故有这个因式,通分后对分子因式分解得,有,可得导数小于零,从而不等式获证。

【解析】

本题主要考查导数的应用及不等式的证明。

(1)由与直线在点相切得过点,且,解方程即可求出

(2)令,注意到,可考虑证明单调递减。对求导数,通过判断的正负研究的单调性。

【考点】
导数的概念及其几何意义导数在研究函数中的应用
【标签】
直接法放缩法
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