2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第22题
（本小题满分14分）
设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足（，且）。当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线。
（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）
如图，设，，则由且，可得：，，故 ①。因为点在单位圆上运动，所以 ②。
将①式代入②式即得所求曲线的方程为且。
因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，。
（Ⅱ）
如图，，设，，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得：。
依题意可知此方程的两根为，由韦达定理可得：，即。
因为点在直线上，所以。
于是，。等价于，即，又，得。
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。
本题主要考查求曲线方程和椭圆与直线相交时的相关计算。
（Ⅰ）求点的轨迹时需找到轨迹点坐标和动点坐标间的关系，将轨迹点坐标代入动点坐标满足的方程即可。
（Ⅱ）等价于，利用直线与椭圆方程联立可得：和代入上式整理即得解。
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