2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分12分）
如题图，椭圆的中心为原点。长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，。
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程。
（Ⅰ）由题意知点在椭圆上，则，从而。
由得，从而，故该椭圆的标准方程为。
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设，由设是椭圆上任意一点，则
设，由题意，是椭圆上到的距离最小的点，因此，上式当时取最小值。
又因，所以上式当时取最小值，从而，且。
由对称性知，故，所以
当时，的面积取到最大值。
此时对应的圆 的圆心坐标为，半径。
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为，。
本题主要考查椭圆的方程及椭圆与圆的位置关系。
（Ⅰ）结合题干已知条件可得出有关、、的等式，然后利用椭圆的性质可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）结合图象，欲使椭圆上的其余点均在圆外且最大的条件等价是椭圆上的动点到点最短的距离， 由此可得的表达式，然后利用配方法求得最大值及相应的圆的标准方程即可。
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