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2021年高考数学甲卷-理10<-->2021年高考数学甲卷-理12
11．（5分）已知$A$，$B$，$C$是半径为1的球$O$的球面上的三个点，且$AC\bot BC$，$AC=BC=1$，则三棱锥$O-ABC$的体积为( )
A．$\dfrac{\sqrt{2}}{12}$ B．$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$ C．$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ D．$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
分析：先确定$\Delta ABC$所在的截面圆的圆心$O_{1}$为斜边$AB$的中点，然后在$\rm{Rt}\Delta ABC$和$\rm{Rt}\Delta AOO1$中，利用勾股定理求出$OO_{1}$，再利用锥体的体积公式求解即可．
解：
因为$AC\bot BC$，$AC=BC=1$，
所以底面$ABC$为等腰直角三角形，
所以$\Delta ABC$所在的截面圆的圆心$O_{1}$为斜边$AB$的中点，
所以$OO_{1}\bot$平面$ABC$，
在$\rm{Rt}\Delta ABC$中，$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{2}$，则$A{O}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
在$\rm{Rt}\Delta AOO_{1}$中，$O{O}_{1}=\sqrt{O{A}^{2}-A{{O}_{1}}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
故三棱锥$O-ABC$的体积为$V=\dfrac{1}{3}\cdot {S}_{\Delta ABC}\cdot O{O}_{1}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1\times 1\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$．
故选：$A$．
点评：本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定$\Delta ABC$所在圆的圆心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题．
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