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2021年高考数学乙卷-文15

15.(5分)记$\Delta ABC$的内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,面积为$\sqrt{3}$,$B=60\circ$,$a^{2}+c^{2}=3ac$,则$b=$____.
分析:由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于$b$的方程,解方程可得.
解:$\because \Delta ABC$的内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,面积为$\sqrt{3}$,$B=60\circ$,$a^{2}+c^{2}=3ac$,
$\therefore$$\dfrac{1}{2}ac\sin B=\sqrt{3}$$\Rightarrow$$\dfrac{1}{2}ac\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow ac=4\Rightarrow a^{2}+c^{2}=12$,
又$\cos B=\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$$\Rightarrow$$\dfrac{1}{2}=\dfrac{12-{b}^{2}}{8}\Rightarrow b=2\sqrt{2}$,(负值舍)
故答案为:$2\sqrt{2}$.
点评:本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用,属基础题.
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