|
2021年高考数学甲卷-理17<-->2021年高考数学甲卷-理19
18．（12分）已知数列$\{a_{n}\}$的各项均为正数，记$S_{n}$为$\{a_{n}\}$的前$n$项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列$\{a_{n}\}$是等差数列；②数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列；③$a_{2}=3a_{1}$．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
分析：首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前$n$项和公式证明结论即可．
解：选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：$a_{2}=a_{1}+d=3a_{1}$，$\therefore d=2a_{1}$，
数列的前$n$项和：${S}_{n}=n{a}_{1}+\dfrac{n(n?1)}{2}d=n{a}_{1}+\dfrac{n(n?1)}{2}\times 2{a}_{1}={n}^{2}{a}_{1}$，
故$\sqrt{{S}_{n}}?\sqrt{{S}_{n?1}}=n\sqrt{{a}_{1}}?(n?1)\sqrt{{a}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}(n\geqslant 2)$，
据此可得数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，则：
$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}},\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+({a}_{1}+d)}=\sqrt{2{a}_{1}+d},\sqrt{{S}_{3}}=\sqrt{{a}_{1}+({a}_{1}+d)+({a}_{1}+2d)}=\sqrt{3({a}_{1}+d)}$，
数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 为等差数列，则：$\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{3}}=2\sqrt{{S}_{2}}$，
即：${(\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{3({a}_{1}+d)})}^{2}={(2\sqrt{2{a}_{1}+d})}^{2}$，整理可得：$d=2a_{1}$，$\therefore a_{2}=a_{1}+d=3a_{1}$．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：$S_{2}=a_{1}+a_{2}=4a_{1}$，$\therefore$$\sqrt{{S}_{2}}=2\sqrt{{a}_{1}}$，
则数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 的公差为$d=\sqrt{{S}_{2}}?\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$，
通项公式为：$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}+(n?1)d=n\sqrt{{a}_{1}}$，
据此可得，当$n\geqslant 2$时，${a}_{n}={S}_{n}?{S}_{n?1}={n}^{2}{a}_{1}?{(n?1)}^{2}{a}_{1}=(2n?1){a}_{1}$，
当$n=1$时上式也成立，故数列的通项公式为：$a_{n}=(2n?1)a_{1}$，
由$a_{n+1}?a_{n}=[2(n+1)?1]a_{1}?(2n?1)a_{1}=2a_{1}$，可知数列$\{a_{n}\}$是等差数列．
点评：本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，等差数列的前$n$项和公式等知识，属于中等题．
2021年高考数学甲卷-理17<-->2021年高考数学甲卷-理19
全网搜索"2021年高考数学甲卷-理18"相关
|
