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2023年高考数学乙卷-文10<-->2023年高考数学乙卷-文12
（5分）已知实数$x$，$y$满足$x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$，则$x-y$的最大值是$($ $)$
A．$1+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ B．4 C．$1+3\sqrt{2}$ D．7
答案：$C$
分析：根据题意，设$z=x-y$，分析$x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$和$x-y-z=0$，结合直线与圆的位置关系可得有$\dfrac{\vert 2-1-z\vert }{\sqrt{1+1}}\leqslant 3$，解可得$z$的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，$x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$，即$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$，其几何意义是以$(2,1)$为圆心，半径为3的圆，
设$z=x-y$，变形可得$x-y-z=0$，其几何意义为直线$x-y-z=0$，
直线$y=x-z$与圆$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$有公共点，则有$\dfrac{\vert 2-1-z\vert }{\sqrt{1+1}}\leqslant 3$，解可得$1-3\sqrt{2}\leqslant z\leqslant 1+3\sqrt{2}$，
故$x-y$的最大值为$1+3\sqrt{2}$．
故选：$C$．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
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