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2023年高考数学乙卷-文12

(5分)设$A$,$B$为双曲线$x^{2}-\dfrac{y^2}{9}=1$上两点,下列四个点中,可为线段$AB$中点的是$($  $)$
A.$(1,1)$              B.$(-1,2)$              C.$(1,3)$              D.$(-1,-4)$
答案:$D$
分析:设$AB$中点为$(x_{0}$,$y_{0})$,利用点差法求得中点弦斜率,列不等式组求解即可.
解:设$A(x_{1}$,$y_{1})$,$B(x_{2}$,$y_{2})$,$AB$中点为$(x_{0}$,$y_{0})$,
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   {{x}_{1}}^{2}-\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1  \\
   {{x}_{2}}^{2}-\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1  \\
\end{array} \right.$,
①$-$②得$k_{AB}=\dfrac{{y}_{2-}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=9\times \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=9\times \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$,
即$-3 < 9\times \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}} < 3\Rightarrow -\dfrac{1}{3} < \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}} < \dfrac{1}{3}$,
即$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}} > 3$或$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}} < -3$,
故$A$、$B$、$C$错误,$D$正确.
故选:$D$.
点评:本题考查双曲线的方程和性质,是中档题.
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