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2023年高考数学新高考Ⅱ-4<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-6
（5分）已知椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$的左焦点和右焦点分别为$F_{1}$和$F_{2}$，直线$y=x+m$与$C$交于点$A$，$B$两点，若△$F_{1}AB$面积是△$F_{2}AB$面积的两倍，则$m=($ $)$
A．$\dfrac{2}{3}$ B．$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ C．$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ D．$-\dfrac{2}{3}$
答案：$C$
分析：记直线$y=x+m$与$x$轴交于$M(-m,0)$，由题意可得$\vert -\sqrt{2}-x_{M}\vert =2\vert \sqrt{2}-x_{M}\vert$，求解即可．
解：记直线$y=x+m$与$x$轴交于$M(-m,0)$，
椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$的左，右焦点分别为$F_{1}(-\sqrt{2}$，$0)$，$F_{2}(\sqrt{2}$，$0)$，
由△$F_{1}AB$面积是△$F_{2}AB$的2倍，可得$\vert F_{1}M\vert =2\vert F_{2}M\vert$，
$\therefore \vert -\sqrt{2}-x_{M}\vert =2\vert \sqrt{2}-x_{M}\vert$，解得$x_{M}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$或$x_{M}=3\sqrt{2}$，
$\therefore -m=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$或$-m=3\sqrt{2}$，$\therefore m=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$或$m=-3\sqrt{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\ {y=x+m}\end{array}\right.$可得，$4x^{2}+6mx+3m^{2}-3=0$，
$\because$直线$y=x+m$与$C$相交，所以△$ > 0$，解得$m^{2} < 4$，
$\therefore m=-3\sqrt{2}$不符合题意，
故$m=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：$C$．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
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